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硬核:深入剖析 TWAMM 做市商的数学原理

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从数学角度论证和注释 Uniswap 首创人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模子 TWAMM 的事情原理。

最近,Paradigm 研究合资人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 首创人 Hayden Adams 一起互助设计了一个全新的做市模子「时间加权做市商 TWAMM」(The Time-Weighted Average Market Maker)。凭证其揭晓文章先容,TWAMM 可以在以太坊上有用地生意大额订单,事情原理是将耐久大额订单剖析为无限多个无限小的虚拟订单,在一准时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些生意。

关于 TWAMM 的虚拟生意所涉及的数学,Dave White 在文中并没有多费文字,只在最后给出了异常简朴的数学结论,这对于明白 TWAMM 的数学原理异常晦气。本文将重点对 TWAMM 的数学原理举行严酷的论证和注释,至于 TWAMM 模子详细的设计原理,可以前往 Paradiagm 官网查看,本文不再做详述。

界说

假设 TWAMM 执行大额虚拟生意需要 N 个区块,出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售,而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此,在整个时代售出的 X 总量为 xin=Nxrate,售出的 Y 总量为 yin=Nyrate

同时,我们将此时间段嵌入 AMM 的初始贮备 xreserve 和 yreserve 划分示意为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart

根据 TWAMM 的设计,大额订单是随着区块举行生意的,每个区块出售 xrate 获得 yout,或者出售 xrate 获得 yout,同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值,整个历程总共生意 N 次。

值得注重的是,AMM 的每个区块生意总是遵照恒定乘积做市。

公式

首先,在执行第 n-1 区块的生意后,我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值划分为 xn-1 和 yn-1

接下来执行第 n 区块的生意,X-Pool 和 Y-Pool 划分向 AMM 输入 xrate 和 yrate,命:

由于 xrate 和 yrate 异常细小,且区块的生意 AMM 遵照恒定乘积做市商,我们可以获得,

化简,

在获得 xout,n 和 yout,n 的值后,我们进一步可以获得 n 区块的生意后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn

通过考察,我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1,这正好相符 AMM 的循恒定乘积做市的条件要求。

令, xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k,这是一个常数。

分式线性递归

先对 xn 求得一样平常公式,并获得 xammEnd=xN 的值,yn 同理。

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yn 的分式线性递归表达式如下:

首先,若 yin 即是 0,xin 不即是 0,则

盘算获得,

而,

xin 即是 0,yin 不即是 0 时,讨论同上。

若 xin 和 yin 都不即是 0,对于一样平常的分式线性递归,我们可以接纳不动点的方式求解。

进一步盘算,

极限

TWAMM 的基本假设是将耐久大额订单剖析为无限多个无限小的虚拟订单,也即是 N 可以取无限大,这时刻可以获得 xN 的极限值。

其中,

相似的,

最后,经由简朴的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然知足 AMM 的恒定乘积。

至此,我们完成了 TWAMM 的数学原理严酷的论证和注释,并获得了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。

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